Distribusi Bernoulli

Distribusi Bernoulli

Suatu distribusi Bernoulli dibentuk oleh suatu percobaan Bernoulli. Distribusi bernoulli ditemukan oleh James Bernoulli pada tahun 1654-1705. Percobaan Bernoulli adalah percobaan yang memiliki sifat- sifat berikut:

1.      Percobaan atau kejadian hanya dilakukan satu kali

2.      Setiap percobaaan menghasilkan keluaran yang dapat diklasifikasikan sebagai sukses atau gagal

3.      Probabilitas sukses yang disimbolkan dengan , tetap konstan dari percobaan satu ke percobaan lainnya.

4.      Merupakan percobaan yang independen (keluaran percobaan tidak mempengaruhi keluaran dari percobaan lainnya)

Dengan demikian pada percobaan Bernoulli, jika peluang sukses P(s) = p maka peluang gagal P(g) =

Contoh :

Eksperimen melempar uang logam dengan hasil A dan G, merupakan eksperimen Bernoulli karena:

1.      Pengamatan hanya dilakukan satu kali

2.      Kejadian A dapat dianggap kelompok sukses dan G dapat dianggap sebagai kelompok gagal.

3.      Peluang munculnya A dari suatu pengamatan ke pengamatan berikutnya konstan yaitu P(A) =

4.      Merupakan percobaan yang independen

Dalam sebuah percobaan Bernoulli, dimana  adalah probalilitas “ sukses” dan  adalah probalitas “gagal” dan jika  adalah variabel acak yang menyatakan sukses, maka dapat dibentuk sebuah distribusi probabilitas Bernoulli sebagai fungsi probabilitas sebagai berikut:

 =  

Atau    

                                                    

Contoh : Di awal tahun ajaran baru mahasiswa fakultas teknik biasanya membeli rapido untuk keperluan menggambar teknik. Di koperasi tersedia dua jenis rapido, yang tintanya dapat di isi ulang (refill) dan yang tintanya harus diganti brsama dengan catridgenya.  Data yang ada selama ini menunjukkan bahwa  mahasiswa membeli rapido yang tintanya dapat diisi ulang. Jika variabel acak  menyatakan mahasiswa membeli rapido yang tintanya dapat diisi ulang, maka dapat dibentuk distribusi probabilitas sebagai berikut:

 

 

 

 

Maka fungsi probabilitasnya adalah fungsi Bernoulli dengan satu parameter .  Dinotasikan :

Atau

Beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi bernoulli

1.      Mean (Nilai Harapan)

 

Bukti :

 ...........................fungsi probabilitas bernoulli

  ............................ekspekasi matematika diskrit

       ............subtitusi

      ....subtitusi

       .........................................................terbukti

2.      Varians

 

Bukti :

 ......................fungsi probabilitas bernoulli

 .........................................mean (nilai harapan)

 .........definisi varians

  ......................ekspekasi matematika diskrit

 

        ......subtitusi

         ... subtitusi

       

 ..........definisi varians

             

            

            ................................terbukti

3.      Fungsi pembangkit moment

 

Bukti :

  ............................fungsi probabilitas bernoulli

  ...........................fungsi pembangkit momen diskrit

     ........... subtitusi

     ... subtitusi

     .............................terbukti

Contoh : Pada semester VI di Jurusan Teknik Kelutan setiap mahasiswa akan mendapatkan Tugas Rancang Besar II (Perancangan Struktur Lepas Pantai Terpancang - Statis). Derdapat dua software yang sudah familiar digunakan untuk mengerjakan TRB II, yakni GT Strudl dan SACS. Data yang ada selama ini menunjukkan 80% mahasiswa menggunakan SACS karena lebih friendly use daripada GT Strudl. Jika variabel acak X menyatakan mahasiswa yang menggunakan SACS, tentukan nilai harapan (harapan matematis), varians dan fungsi pembangkit momentnya!

Jawab :

Diketahui   menyatakan mahasiswa yang menggunakan SACS